¡BIENVENIDOS!

Nuestro blog cuenta con la mejor información, con respecto a los siguientes temas:

-Fraccionarios

-Regla de tres simple

-Regla de tres compuesta

-Regla de tres inversa

-Interés simple

-Problemas de ecuaciones 2x2

Y no olviden de compartir nuestro blog.

SISTEMAS DE ECUACIONES 2x2

Para resolver graficamente un sitema de ecuaciones con dos variables se grafican las dos ecuaciones y  la solucion es la pareja ordenada  del punto de interseccion de las dos rectas.

Al representar graficamente  las dos rectas se va a presentar alguna de estas tres situaciones:

ejemplo:

resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

y= x+2

y=  -x+4

y=x+2 y=-x+4

valor de x valor de y valor de x valor de y

  0y= (0) +2=2    0y= -(0)+4=4

 -4y=(-4)+2=-2  -4y= -4(-4) +4=8

  4y= (4)+2= 6    4y=  -(4) + 4 = 0

Se localizan los puntos y se trazan las rectas.

 

 

 

 METODO DE SUSUTITUCION

 

 

Para resolver un sistema de ecuaciones por sustitución  es necesario seguir los siguientes pasos:

1. se despeja una variable en cualquier ecuación
2. se sustituye la expresión encontrada en la otra ecuación
3. se despeja y se encuentra el valor de una variable
4. se sustituye el valor encontrado en el paso tres en la ecuación del paso uno.

 

ejemplo:

Resolver las siguientes ecuaciones

 2x +4= 1

  x+34=18.

 

 

1. 4= 11-2x
2. x+3(11-2x) = 18
3.  x+33-6x= 18

            x-6x= 18-33

              -5x= -15

                  x=-15/-5

                     x= 3

    4.  11-2 (3)

             y= 5

 

la solución es (3,5)

 

 

METODO DE IGUALACION

 

 

 

  Pasos para resolver un sistema de ecuación por el método de igualación:

 

 





             4x - 3x = -2x

             5x + 24 = 9

 

1. despejamos la misma variable en ambas ocasiones. 

                      x= 34-2/ 4

 

                      x= 9-24/5

 

    2.  igualamos las dos expresiones anteriores

 

                           34-2/4 = 9-24/5

 

 

    3. resolvemos la ecuación resultante

 

                           150-10 =  36-84

                              264   =  46

                                  4   =  2

 

 

   4.  Para calcular el valor de x sustituimos y=2 cual fuera la expresión obtenida en el paso 1.

 

 

                                    x=  3 .  2  -  2 /  4 =  1.

 

 

•                                  - 3x + 8 / 4  =  - 6x + 7 /  -10

 

                                 -10  ( -3x + 8 ) = 4  ( -6x + 7 )

                                   30x - 80x =  -24x + 28

                                             54x =  108

                                                 x =  2

 

•                        -4x + 16 / 2  =  -3x  + 9 / -8 .

                               -8  (-4x + 16)  =   2(-3x + 9)

                                     32x - 128 = -6x + 18

                                      32x + 6x =  18 + 128

                                               38x =  146

                                                  x =    73/ 19

 

 

METODO DE REDUCCION

 

 



  (combinación lineal de ecuaciones)

 

• se  multiplica la ecuación por un  numero, la otra por el otro numero y se suma la       ecuación resultante  de una combinación lineal. es equivalente a las ecuación lineales del sistema
• el método de reducción consiste en eliminar una incógnita del sistema.

 

                                   -2x + 54 = -3

                                  - 3x + 4y = -7



 



 vamos a eliminar la x para ello multiplico la ecuación de arriba por 3 y la de abajo por 2

 

                                          6x + 154 = -9

                                        - 6x + 84  = -4

 

sumando ambas ecuaciones desaparece X y queda:

                 

 

                                            6x + 154 =  -9

                                           -6x + 184 = - 4

                                                    234 = -23

 

 

                                                     y=   -23

                                                              23

 

                                                     y=  -1

 

 

para calcular X sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales

 

                                                     2x + 5 (-1) = 3

                    

                                                      2x - 5 = 3

           

                                                        2x  = -2 

 

                                                          x = -2

                                                                  2

 

                                                           x= 1

 

                                         

 

                   

 

 

                                

 

 

CLASIFICACIÓN DE LA REGLA DE TRES

REGLA DE TRES SIMPLE

Se aplica cuando dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, hay que calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:

Ejemplos

Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros.

Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana?

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, más euros.

_______________________________________________________________________

REGLA DE TRES INVERSA

Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:

Ejemplo

Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito.

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.

_______________________________________________________________________

REGLA DE TRES COMPUESTA

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.

Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.

Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta:

Regla de tres compuesta directa

Ejemplo

Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

______________________________________________________________________

REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA

Ejemplo

5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

______________________________________________________________________

REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA

Ejemplo

Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?

11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

INTERÉS SIMPLE

El interés simple es un tipo de interés que siempre se calcula sobre el capital inicial sin la capitalización de los intereses, de suerte que los intereses generados no se incluyen en el cálculo futuro de los intereses, permaneciendo el capital fijo.

El interés I que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo t, y a la tasa de interés i :

I = C · i · t

donde i está expresado en tanto por uno y t en años.

Ejercicios:

1. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.

Resolución:

Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06

I = 25 000·0,06·4 = 6 000 ? = C·i·t

El interés es de 6 000 pesos

2. Calcular el interés simple producido por 30 000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %.

Resolución:

 

3. Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 pesos. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año?

Resolución:

I = ?·i·t

El saldo medio ha sido de 48 500 pesos.

4. Un préstamo de 20 000 PTA se convierte al cabo de un año en 22 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?

Resolución:

Los intereses han ascendido a:

22 400 - 20 000 = 2 400 pesos I = C·?·t

Aplicando la fórmula I = C · i · t

La tasa de interés es del 12 %.

5. Un capital de 300 000 pesos invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12 000 pesos. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido?

Resolución:

Aplicando la fórmula I = C · i · t

12 000 = 300 000 =: 0,08 · t

I = C·i·?

El tiempo que ha estado invertido es de 0,5 años, es decir, 6 meses.

REGLA DE TRES

La regla de tres es una relación de proporcionalidad muy sencilla y muy útil en nuestra vida diaria.

La regla de tres es una de las pocas de las muchas operaciones matemáticas que se aprenden desde la escuela primaria hasta en la universidad que representan una utilidad general.

La regla de tres se utiliza para averiguar un dato cuando se conocen tres más, es decir que tenemos una incógnita y tres valores ya conocidos.

La regla de tres es muy utilizada por quienes ejercen la contabilidad pues permite identificar valores con gran facilidad.

La regla de tres supone que:

X = C
B    D

De suerte que X = B*C/D

Vemos que para determinar X, multiplicamos los valores diagonales en los que no está X, y el resultado lo dividimos por el valor diagonal a X.

En la regla de tres, como ya se dijo existen 4 valores, uno de los cuales no se conoce, así que cualquiera de los cuatro valores puede ser la incógnita, lo cual permite averiguar distintos valores.

Ejemplo:

10 unidades de cualquier cosa valen $1.000, entonces, ¿Cuánto valen 20 unidades?

10 : 1.000
20 : X

Luego, X = (20*1.000)/10 = 2.000

Podríamos suponer también que si 10 unidades cuestan 1.000, ¿cuantas unidades se compraron si el costo de la compra fue de 2.000?

10 : 1.000
X : 2.000

Luego, X = (2.000*10)/1.000 = 20

Si para producir 10 unidades de algo, se requieren 50 kilos de materia prima, ¿cuantos kilos de materia prima se requieren para producir 400 unidades?

10: 50
400: X

Entonces X = (400*50)/10 = 2.000

FRACCIONARIOS

Son aquellos números naturales que no son enteros 2/7 ; 11/10 ; 3/2

En nuestra vida cotidiana muchas veces decimos:  falta un cuarto para las tres de la tarde, necesito un medio, necesito cuatro octavos de kilogramos de harina, el kilometro dieciocho de la autopista,  ¿Cómo expresar esto numéricamente?

SE CLASIFICAN POR:

• POR LA RELACIÓN DE SUS TÉRMINOS:

Por la relación de sus términos: Es aquella fracción donde el numerador es menos que el denominador siendo el valor de la fracción menor de la unidad

Si f: a/b entonces, a<b ó a<f …. 4/7 ; 8/13

Fracción impropia:  Es aquella fracción donde el numerador es mayor que el denominador siendo el valor de la fracción mayor de la unidad.

Si f=a/b entonces a>b ó a>f …. 5/2 ; 17/11

Tener en cuenta:  Toda fracción propia se puede expresar como un entero, más una fracción propia, dicha expresión se denomina como una fracción mixta. 

• DE ACUERDO A SU DENOMINADOR:

-Decimal: cuando el denominador es una potencia de 10 Ejm: 5/100 7/10…

-Ordinaria o común: Cuando el denominador no es una potencia entera de 10 Ejm: 4/9 ; 3/11…

• POR GRUPO DE FRACCIONES:

-Fracciones homogéneas: Es un grupo de fracciones donde todos sus denominadores son iguales Ejm:  7/17 ; 8/17 ; 2/17 …

-Fracciones heterogéneas: Es un grupo de fracciones donde al menos uno de sus denominadores es diferente a los demás Ejm: 13/18 ; 16/18 ; 8/6

Tener en cuenta: si se tiene un grupo de fracciones homogéneas será mayor aquella que tenga mayor numerador;  si se tiene un grupo de fracciones de igual numerador, es mayor la fracción que posee menor denominador.

• POR LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS:

-Reductible:  Cuando sus términos tienen más de un divisor en común Ejm: 20/25 ; 91/63 ; 31/55

-Irreductibles:  Cuando sus términos tienen como único divisor a la unidad Ejm: 17/10 ; 15/17…

Tener en cuenta: Las fracciones reductibles pueden simplificarse o reducirse, obteniendo diversas fracciones equivalentes, hasta un punto en el cual ya no pueden simplificarse más, en este caso tendremos una fracción irreductible.